虚数是技术和工程的重要工具

快速阅读: 据《科学警报》最新报道，复数虽看似抽象，却在数学与实际应用中发挥重要作用。通过复分析，三角学、微积分得以简化，几何图形操作更直观，且在物理信号处理、工程问题解决及数据存储优化等方面有广泛应用，展现其不可或缺的价值。

对于非数学专业人士而言，让字母“i”代表一个并不存在且被称为“虚数”的数字，可能会让人难以理解。然而，如果你敞开心扉接受这种思维方式，一个全新的世界就会展现在你面前。我是一名研究分析学的数学家：数学的一个分支，处理复数。与更熟悉的实数——正整数、负整数、分数、平方根、立方根甚至π这样的数不同，复数具有虚数部分。这意味着它们由实数和虚数单位“i”组成：“-1”的平方根。记住，一个数的平方根表示一个平方等于原数的数。正数乘以自身是正数，负数乘以自身也是正数。虚数单位“i”表示一个数，当它自身相乘时结果为负。

我是一名研究分析学的数学家：数学的一个分支，处理复数。与更熟悉的实数——正整数、负整数、分数、平方根、立方根甚至π这样的数不同，复数具有虚数部分。这意味着它们由实数和虚数单位“i”组成：“-1”的平方根。与非数学专业人士讨论虚数常常会引发质疑声，比如“但这些数字真的存在吗？”如果你是这些怀疑论者之一，你并不孤单。即使是数学巨人也发现复数难以接受。首先，称“-√1”为“虚数”并没有帮助人们理解它并非幻想。数学家吉罗拉莫·卡尔达诺在他的1545年关于复数的著作《大艺术》中将它们描述为“微妙而无用”。即使是一些最伟大的数学家，如莱昂哈德·欧拉，也被认为在计算“√(-2) × √(-3)”时得出的结果是“√6”。正确的答案应该是“-√6”。

在高中，你可能已经遇到过二次公式，它给出了未知变量平方的方程的解。也许你的高中老师不想处理二次公式中平方根表达式（b² – 4ac）为负的情况。他们可能将其搁置一旁，当作大学要处理的问题。然而，如果允许平方根表达式（b² – 4ac）为负，二次公式可以应用于更多情况。然而，如果你愿意相信负数平方根的存在，你将得到一组全新二次方程的解。事实上，一个奇妙且实用的数学世界展现在眼前：复分析的世界。

对复数的信任带来了什么好处？首先，三角学变得容易得多。与其记住几个复杂的三角公式，你只需要一个公式就能解决所有问题：欧拉1740年的公式。有了良好的代数技能，你可以操作欧拉公式，看到大多数标准三角公式——用于测量三角形长度或角度的公式——都变得轻而易举。

微积分也变得更容易。正如数学家罗杰·科特斯、勒内·笛卡尔——他创造了“虚数”这个术语——以及其他人的观察，复数使得看似不可能的积分变得容易解决，并能测量复杂曲线下的面积。复数也在理解使用直尺和圆规可以构造的所有可能几何图形方面发挥作用。正如数学家让-罗伯特·阿尔冈和卡尔·弗里德里希·高斯所指出的，你可以使用复数来操作几何图形，如五边形和八边形。

复分析在现实世界中的应用

复分析在现实世界中有许多应用。数学家拉斐尔·邦贝利的想法——对复数进行加法、减法、乘法和除法等代数运算——使得它们可以在微积分中使用。傅里叶级数允许周期函数（蓝色）通过正弦和余弦函数（红色）的和来近似。这个过程依赖于复分析。

从这里开始，科学家们在物理学中用来研究信号——或数据传输——的许多内容变得更加易于管理和理解。例如，复分析用于操作小振荡的数据波浪。这对去除卫星传输的嘈杂信号中的噪声以及压缩图像以提高数据存储效率至关重要。复分析使工程师能够将复杂的问题转化为简单的。因此，它也是许多应用物理主题的重要工具，例如研究复杂结构的电学和流体力学性质。

一旦他们对复数感到更加熟悉，像卡尔·魏尔斯特拉斯、奥古斯丁-路易·柯西和伯恩哈德·黎曼这样的著名数学家和其他人就能够发展复分析，构建了一种有用的工具，不仅简化了数学和推动了科学发展，还使其更易于理解。

**威廉·罗斯**
里士满大学数学教授

本文转载自《对话》杂志，根据知识共享许可重新发布。阅读原文。

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